Einführung
Analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die geometrischen Figuren und ihre Eigenschaften mit Hilfe von algebraischen Methoden untersucht. In dieser Klasse werden wir uns mit Grundlagen der analytischen Geometrie beschäftigen.
Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem besteht aus zwei rechtwinkligen Achsen: der x-Achse (horizontal) und der y-Achse (vertikal). Jeder Punkt im System wird durch ein Koordinatenpaar (x, y) beschrieben.
Beispiel
Der Punkt A hat die Koordinaten (3, 4).
Formel
Abstand zwischen zwei Punkten A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂):
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
Gerade
Eine Gerade im Koordinatensystem kann durch die Gleichung y = mx + b beschrieben werden, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
Beispiel
Die Gerade y = 2x + 3 hat eine Steigung von 2 und einen y-Achsenabschnitt von 3.
Formel
Steigung einer Geraden durch zwei Punkte A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂):
m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
Kreis
Ein Kreis im Koordinatensystem kann durch die Gleichung (x - a)² + (y - b)² = r² beschrieben werden, wobei (a, b) der Mittelpunkt und r der Radius ist.
Beispiel
Der Kreis (x - 2)² + (y + 1)² = 9 hat den Mittelpunkt (2, -1) und einen Radius von 3.
Formel
Fläche eines Kreises:
A = πr²
Parabel
Eine Parabel im Koordinatensystem kann durch die Gleichung y = ax² + bx + c beschrieben werden.
Beispiel
Die Parabel y = x² + 2x + 1 hat ihren Scheitelpunkt bei (-1, 0).
Formel
Scheitelpunkt einer Parabel y = ax² + bx + c:
x = -b/(2a)