Algebraische Gleichungen

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:

ax² + bx + c = 0

Die Lösungen können mit der Mitternachtsformel gefunden werden:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Diskriminante (D):

D = b² - 4ac

  • Wenn D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
  • Wenn D = 0: eine reelle Lösung (Doppellösung)
  • Wenn D < 0: keine reellen Lösungen (komplexe Lösungen)

Binomische Formeln

Binomische Formel I

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Binomische Formel II

(x - y)² = x² - 2xy + y²

Binomische Formel III

(x + y)(x - y) = x² - y²

Potenzgesetze

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ

(aⁿ)ᵐ = aⁿ⁺ᵐ

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Übungsaufgaben

Quadratische Gleichung

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:

2x² - 5x + 2 = 0

Lösung:

x = [5 ± √(25 - 16)] / 4

x = [5 ± 3] / 4

x₁ = 2, x₂ = 0.5

Binomische Formel

Erweitern Sie das folgende Produkt:

(3x + 2y)²

Lösung:

(3x + 2y)² = (3x)² + 2 × 3x × 2y + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y²

Potenzgesetze

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:

(2x³y⁴)² × (3xy)³

Lösung:

(2x³y⁴)² = 4x⁶y⁸

(3xy)³ = 27x³y³

4x⁶y⁸ × 27x³y³ = 108x⁹y¹¹